El Principio de Arquímides

La anécdota más conocida sobre Arquímides, matemático griego (287 a. C. – 212 a. C.), cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto con forma irregular. Una nueva corona había sido fabricada para Hierón II, el tirano gobernador de Siracusa, el cual le pidió a Arquímedes determinar si la corona estaba hecha de oro puro o si un orfebre deshonesto le había agregado plata. Arquímedes tenía que resolver el problema sin dañar la corona, así que no podía fundirla ni convertirla en un cuerpo regular para calcular su densidad.

Entonces, mientras tomaba un baño, notó que el nivel de agua subía en la tina cuando entraba, y así se dio cuenta de que ese efecto podría usarse para determinar el volumen de la corona. Debido a que la compresión del agua sería despreciable, la corona, al ser sumergida, desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Al dividir la masa de la corona por el volumen de agua desplazada, se podría obtener la densidad de la corona. La densidad de la corona sería menor si otros metales más baratos y menos densos le hubieran sido añadidos. Así que Arquímedes salió corriendo desnudo por las calles, tan emocionado estaba por su descubrimiento que no recordó vestirse, e iba gritando: "¡Eureka!" (En griego clásico "εὕρηκα" significaba: "¡Lo he encontrado!"). 

La historia de la corona dorada no aparece en los trabajos conocidos de Arquímedes, pero en su tratado Sobre los cuerpos flotantes ofrece el principio de hidrostática, conocido como el principio de Arquímedes. Este plantea que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desalojado, es decir, dados dos cuerpos que se sumergen en el seno de un fluido (por ejemplo: agua), el más denso o el que tenga compuestos más pesados se sumerge más rápido, o sea, tarda menos tiempo en llegar a una posición de equilibrio. Esto sucede por el gradiente de presión que aparece en el seno del fluido, que es directamente proporcional a la profundidad de inmersión y al peso del propio fluido.

En efecto, Arquímedes, con esta observación, dio origen a un método para determinar el volumen de distintos tipos de sólidos. Este método se conoce con el nombre de Medición de Volumen por Desplazamiento (de líquidos). El volumen de un cuerpo es, hablando de manera simple, la cantidad de espacio que ese cuerpo ocupa. Existen distintas maneras de determinar (o medir) el volumen de los cuerpos.

El primer método para calcular el volumen es el matemático y se emplea en cuerpos regulares, fácilmente medibles. Por ejemplo, una goma que puede tener 3 cm de largo, por 2 cm de ancho por 1 cm de alto: Se multiplica el largo (3), por el ancho (2), por el alto (1) y se obtiene el volumen en cm cúbicos:  3 x 2 x 1 = 6 cm cúbicos (6 cc). 

Para explicar el segundo método, considérese un cuerpo sólido impermeable como una piedra. Supongamos que se quiere determinar el volumen de una piedra. Una manera de determinarlo consiste en tomar una probeta de unos 30 ml, por ejemplo (como la de la figura), y llenarla de agua hasta los 20 ml. A continuación, se deposita la piedra dentro del agua. Una vez que la piedra se haya hundido completamente el nivel del agua habrá ascendido, desde los 20 ml iniciales a, digamos, 23 ml, por ejemplo.

La diferencia de nivel determina el volumen de la piedra, 3 ml, 3 cm³ o 3 cc (3 centímetros cúbicos), en este caso. Ya que la piedra no absorbe agua, el espacio que ocupa la piedra desplaza el agua hacia arriba y, de esta manera, es posible determinar su volumen.

Una forma un poco diferente de realizar la misma tarea, consistiría en llenar de agua completamente un recipiente cualquiera y ponerlo sobre una cubeta. Después, se introduce la piedra en el agua. Esto producirá un rebalse del agua que caerá en la cubeta. El agua que cayó en la cubeta se vierte en una probeta y se mide. El resultado de esa medición determina el volumen de la piedra. Este fue el resultado que encontró Arquímedes al bañarse en la tina. Es importante destacar que es posible utilizar este mismo método para determinar el volumen de cuerpos irregulares como una pera o una zanahoria, por ejemplo.

En otras palabras, el principio de Arquímedes afirma que: “Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja”. Esta fuerza recibe el nombre de empuje hidrostático, o de Arquímedes, y se mide en newtons (en el  Sistema Internacional de Unidades). 

El principio de Arquímedes se formula así:

o bien

donde E es el empuje, ρf es la densidad del fluido, V el volumen de fluido desplazado por algún cuerpo sumergido, parcial o totalmente en el mismo,  g la aceleración de la gravedad y m la masa. De este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del cuerpo y de la gravedad existente en ese lugar. El empuje (en condiciones normales y descrito de modo simplificado) actúa verticalmente hacia arriba y está aplicado en el centro de gravedad del cuerpo.

Cuerpos sumergidos

Sobre un cuerpo sumergido actúan dos fuerzas: su peso, que es vertical y hacia abajo, y el empuje, que es vertical pero hacia arriba. Si se pretende saber si un cuerpo flota, es necesario conocer su peso específico, que es igual a su peso dividido por su volumen. Entonces, se pueden producir tres casos:

1. Si el peso es mayor que el empuje (P > E), el cuerpo se hunde. Es decir, el peso específico del cuerpo es mayor al del líquido.

2. Si el peso es igual que el empuje (P = E), el cuerpo no se hunde ni emerge. El peso específico del cuerpo es igual al del líquido.

3. Si el peso es menor que el empuje (P < E), el cuerpo flota. El peso específico del cuerpo es menor al del líquido.

¿Por qué los barcos no se hunden?

Un barco está hecho de acero. Si se deposita una plancha de acero en el agua, esta se hunde. Entonces, ¿por qué flotan los barcos? A pesar del hierro o del acero con el que están hechos, hay un gran número de espacios huecos en los barcos. Estos no se hunden porque su peso específico es menor al peso específico del volumen de agua desplazado, por lo que se produce un empuje mayor que mantiene el barco a flote.

¿Por qué flotan y se sumergen los submarinos?

Los submarinos son vehículos acuáticos muy antiguos, que datan del siglo XVII. En su interior, poseen unos recipientes llamados "tanques de inmersión". Como su nombre indica, son los encargados de permitir que el submarino pueda sumergirse. Cuando estos tanques están vacíos, el submarino flota en la superficie, pero cuando se llenan con agua del mar, el comandante da la orden de sumergirse, entonces dichos recipientes se llenan con agua del mar, mediante potentes bombas eléctricas, haciendo que el submarino se vuelva más pesado y permitiendo que se hunda en las aguas.

Una vez en las profundidades, estos tanques pueden ser llenados con aire, por lo que el submarino será más liviano que antes y entonces emergerá hacia la superficie. Para mantenerse a una determinada profundidad, el submarino utiliza los timones horizontales. Estos son piezas móviles y el ajuste de sus ángulos permite aumentar o disminuir el empuje. Este efecto, añadido al desplazamiento garantizado por el sistema de propulsión, permite que se alcance la regulación de la profundidad.  

Conclusión

Físico, ingeniero, inventor, astrónomo y matemático, Arquímedes fue la inspiración de otros genios tales como Galileo o Newton. Además de su brillante contribución en el campo de la Hidrostática, tuvo una destacada presencia en el mundo del Cálculo Diferencial, la Geometría y la Aritmética. Asimismo, fue responsable por el surgimiento de la Mecánica de los Fluidos, ciencia que se ocupa de la acción de los fluidos en reposo o en movimiento, así como de sus aplicaciones. La Mecánica de los Fluidos es fundamental en campos tan diversos como la Aeronáutica, la Ingeniería Química, Civil e Industrial, la Meteorología, la Construcción Naval, la Construcción Aeronáutica y la Oceanografía. Entre sus aplicaciones están la propulsión a chorro, las turbinas, los compresores y las bombas de desplazamiento. No es demasiado, por lo tanto, afirmar que Arquímides revolucionó la manera de vivir de toda la humanidad. Los ecos de esta revolución se hacen oír hasta los días actuales.

Pepe Cocodrilo
(Adaptado de diversas fuentes)